備忘録

土質力学メモ

1. 土の分類と物理的性質

[1-1]

土は一般的に土粒子(固体)とその間隙に存在する水(液体)並びに空気(気体)の三相で構成されている. 下図は土の構成を三相に分けて模式的に描いたものである.以下の問に答えよ. (1) 土の間隙比 $e$,間隙率n,含水比$w(\%)$,飽和度,$S_r(\%)$を右図の体積,質量に関する諸量を用いて表せ $$e=\frac{V_a+V_w}{V_s}, n=\frac{V_a+V_w}{V},w=\frac{m_w}{m_s} \times 100, S_r=\frac{V_w}{V_a+V_w} \times 100$$ (2) (1)の結果を利用して$e$, $w$, $S_r$の間の関係,並びに$e$と$n$の関係を式で表せ。ただし,土粒子の比重を$G_s$とする。 $$S_r=\frac{w \cdot G_s}{e}, n=\frac{e}{1+e}$$

[1-2]

土の湿潤単位体積重量 $\gamma_t(kN/m^3)$ ,乾燥単位体積重量 $\gamma_d(kN/m^3)$ , 飽和単位体積重量 $\gamma_{sat}(kN/m^3)$ ,水中単位体積重量 $\gamma'(kN/m^3)$ , を土粒子比重$G_s$,含水比$w(\%)$,飽和度$S_r(\%)$,間隙比$e$,水の単位体積重量$\gamma_w$を用いて表せ。 また$\gamma_t$と$\gamma_d$の関係を示せ. 単位体積の土粒子を含む土について重量÷体積 $$\gamma_t|_{S_r=0}=\gamma_d, \gamma_t|_{S_r=100}=\gamma_{sat}, \gamma_{sat}-\gamma_w=\gamma'$$ $$\gamma_t=\frac{G_s+e \cdot S_r/100}{1+e}\gamma_w, \gamma_d=\frac{G_s}{1+e}\gamma_w, \gamma_{sat}=\frac{G_s+e}{1+e}\gamma_w, \gamma'=\frac{G_s-1}{1+e}\gamma_w$$ $$\gamma_d=\frac{\gamma_t}{1+w/100}$$

[7-1]

図\ref{0701a}に示すように、粘着力$c$,内部摩擦角$\phi$,単位体積重量$\gamma$の地盤上に基礎を構築する場合を考える。この時,基礎の荷重を大きくしていくと地中に滑りが生じ地盤が破壊したRankineは,基礎の底面との間に摩擦がないとした場合の地中の破壊を図\ref{0701b}のように4個のブロックの移動で表現できると仮定した(基礎の周りの土被りを地表面荷重$q_s$で置き換えている).図\ref{0701c}は図\ref{0701b}の右側半分のみを図に示したものである.以下の問いに答えよ.

(1)図\ref{0701c}の荷重直下1の領域の土は主動破壊状態にあると考えられる(図\ref{0701d}).この時,図\ref{0701c}の領域1のBCが地表面となす角$\alpha_1$はいくらか.

領域1において最大主応力面は荷重がかかる水平面であるから,剪断面が水平面となす角$\alpha_1$は $$\alpha_1=\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}$$

(2)図\ref{0701c}中の荷重側方領域2では水平力が鉛直土被り圧より大きく受動破壊状態にあると考えられる(図\ref{0701e}).この時,図\ref{0701c}の領域2のCDが地表面となす角度$\alpha_2$はいくらか.

領域2において最大主応力面は鉛直面であるから,剪断面が水平面となす角$\alpha_2$は $$\alpha_2=\frac{\pi}{4}-\frac{\phi}{2}$$

(3)領域1と2の鉛直境界面ACに作用する力の合力を$P_c$とする.AC面を仮想な擁壁と考えると,領域2に関して$P_c$はこの擁壁にかかる受動土圧と考えることができる.この時の$P_c$を$c$,$N_\phi$,その他の諸量を用いて表せ.ただし,$AC=H$とし,また$N_\phi=\left(1+\sin\phi\right)/\left(1-\sin\phi\right)$とする.

深さ$z$についての領域2の受動土圧$P_p$は$\frac{\cos\phi}{1-\sin\phi}=\sqrt{\frac{1-\sin^2\phi}{(1-\sin\phi)^2}}=\sqrt{\frac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}}=\sqrt{N_\phi}$を用いて $$P_p=\left(\frac{c}{\tan\phi}+\gamma z+q_s \right)N_\phi-\frac{c}{\tan\phi}=2c\frac{\cos\phi}{1-\sin\phi}+\gamma z N_\phi+q_s N_\phi=2c\sqrt{N_\phi}+\gamma z N_\phi+q_s N_\phi$$ よってAC面にかかる土圧の合力$P_c$は $$P_c=\int_0^H \left( 2c\sqrt{N_\phi}+\gamma z N_\phi+q_s N_\phi \right) dz =2cH\sqrt{N_\phi}+\frac{1}{2}\gamma z N_\phi+q_s H N_\phi$$

(4)仮想擁壁ACにかかる力$P_c$は,領域1においては,主動土圧と考えることができる.破壊時の基礎の荷重をQとするとき,$P_c$を$c, N_\phi,$その他の諸量を用いて表せ.

式\ref{pcp}を元に主動土圧係数と受動土圧係数の積が1であること.粘着力が受動土圧と比べ負の向きに作用すること、荷重が$\frac{Q}{B}$であることを加味して $$P_c=\int_0^H \left( -2c\frac{1}{\sqrt{N_\phi}}+\gamma z \frac{1}{N_\phi}+\frac{Q}{B} \frac{1}{N_\phi} \right) dz =-2cH\frac{1}{\sqrt{N_\phi}}+\frac{1}{2}\gamma z \frac{1}{N_\phi}+\frac{Q}{B} H \frac{1}{N_\phi}$$

(5)図\ref{0701c}の幾何学的関係から,$H$と$B$,$N_\phi$,$\phi$との関係を求めよ.

$$H=\frac{B}{2}\tan\alpha_1=\frac{B}{2}\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}\right)=\frac{B}{2}\sqrt{N_\phi}$$ 但し$\tan$の加法定理より $$\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}\right)=\frac{\tan\frac{\pi}{4}+\tan\frac{\phi}{2}}{1-\tan\frac{\pi}{4}\tan\frac{\phi}{2}}=\frac{1+\tan\frac{\phi}{2}}{1-\tan\frac{\phi}{2}}=\frac{\cos\frac{\phi}{2}+\sin\frac{\phi}{2}}{\cos\frac{\phi}{2}-\sin\frac{\phi}{2}}=\sqrt{\frac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}}=\sqrt{N_\phi}$$

(6) (3)(4)(5)の結果から$P_c$並びにHを消去することにより,次式を導け.ただし,$N_c, N_\gamma, N_q$は$N_\phi$の関数である

$$\frac{Q}{B}=c \cdot N_c + \frac{\gamma}{2}\cdot B \cdot N_\gamma+q_s \cdot N_q$$ 式\ref{pca}と式\ref{pcp}から$P_c$を消去して $$2cH\sqrt{N_\phi}+\frac{1}{2}\gamma z N_\phi+q_s H N_\phi=-2cH\frac{1}{\sqrt{N_\phi}}+\frac{1}{2}\gamma z \frac{1}{N_\phi}+\frac{Q}{B} H \frac{1}{N_\phi}$$ $$\frac{Q}{B}=2 c N_\phi (\sqrt{N_\phi}+\frac{1}{\sqrt{N_\phi}})+\frac{1}{2}\gamma H(N_\phi-\frac{1}{N_\phi})N_\phi+q_s N_\phi^2$$ $$\frac{Q}{B}=2 c N_\phi (\sqrt{N_\phi}+\frac{1}{\sqrt{N_\phi}})+\frac{1}{2}\gamma \frac{B}{2}\sqrt{N_\phi}(N_\phi-\frac{1}{N_\phi})N_\phi+q_s N_\phi^2$$ $$\frac{Q}{B}=c N_c+\frac{1}{2}\gamma B N_\lambda+q_s N_q$$ 但し以下に示す$N_\phi$の関数,$N_c, N_\gamma, N_q$で置き換えた. $$N_c=2\left(N_\phi^\frac{3}{2}+N_\phi^\frac{1}{2}\right)\;N_c=\frac{1}{2}\left(N_\phi^\frac{5}{2}-N_\phi^\frac{1}{2}\right)\;N_q=N_\phi^2$$

[7-3]

粘土ローム地盤上に幅6m,根入れ深さ1.5mの帯状の長いコンクリート造基礎がある.この場合の地盤の極限支持力を計算せよ.ただし,粘土ロームの湿潤単位体積重量$\gamma_t=16.8kN/m^2$,粘着力$c=36kN/m^2$,内部摩擦角$\phi=30\circ$とし,地下水の影響は考えないものとする. [7-1]で導出した支持力公式より $$\frac{Q}{B}=c \cdot N_c + \frac{\gamma}{2}\cdot B \cdot N_\gamma+\gamma \cdot D_f \cdot N_q$$ 問題文より $$D_f=1.5m\;B=6m\;c=36kN/m^3$$ $\phi=30^\circ$より教科書p264のTerzaghiの式14.44,14.45,14.47を用いて $$N_q=\frac{1}{1-\sin\phi}\exp\left(\left(\frac{3\pi}{2}-\phi\right)\tan\phi\right)=22.46\;N_c=(N_q-1)cot\phi=37.16\;N_\gamma=(N_q-1)cot\left(1.4\phi\right)=19.32$$ 支持力公式に代入して極限支持力$q_d$は $$q_d=36kN/m^2\cdot37.16+\frac{16.8kn/m^2 \cdot 6m \cdot 19.32}{2}+16.8kN/m^2\cdot1.5m\cdot22.46=2877kN/m^2$$

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大学3回生。専門は土木、趣味はプログラミング。
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