備忘録
# 波動振動学メモ
# 波動振動学メモ ## 図に示す2自由度系について、次の問いに答えよ。 ### 運動方程式を導け。 $$m \ddot{x_1} + k(2 x_1-x_2)=0$$ $$m \ddot{x_2} + k(x_2-x_1)=0$$ ### 固有振動モード(固有振動数とモード形ベクトル)を全て求めよ。 運動方程式を行列に置き換える $$ \left( \begin{array}{cc} m & 0 \\ 0 & m \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \ddot{x_1} \\ \ddot{x_2} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} 2k & -k \\ -k & k \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) $$ $$M \ddot{X} + K X = 0$$ この運動方程式の解を調和振動と仮定し、複素定数$X_1, X_2$を用いて $ \left\{ \begin{array}{l} x_1(t)=X_1 e^{i \omega t} \\ x_2(t)=X_2 e^{i \omega t} \end{array} \right. $ と置く。 $ \ddot{X}=- \omega^2 X $ なので以下が成り立つ $$ \left( K - \omega^2 M \right) X = \left( \begin{array}{cc} 2k-\omega^2 m & -k \\ -k & k-\omega^2m \\ \end{array} \right) X =0 $$ $\left( K - \omega^2 M \right)$に逆行列が存在しないとき行列式は$0$となり非自明な解が存在する。 $$ \left| \begin{array}{cc} 2k-\omega^2 m & -k \\ -k & k-\omega^2m \\ \end{array} \right| =m^2\omega^4-3 m k \omega^2 + k^2=0 $$ これを$\omega^2$について解くと固有振動数 $\omega^2=\frac{k}{m}\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ が求まる ここで$\omega^2=\frac{k}{m}\frac{3+\sqrt{5}}{2}$の場合 $$ \left( K - \omega^2 M \right) X = \left( \begin{array}{cc} 2k-\omega^2 m & -k \\ -k & k-\omega^2m \\ \end{array} \right) = k \left( \begin{array}{cc} \frac{1-\sqrt{5}}{2} & -1 \\ -1 & \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \\ \end{array} \right) X = k \left( \begin{array}{cc} 1 & \frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) X=0$$ 従って$X=\left(\begin{array}{c}\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\1\\\end{array}\right)$またはその倍数 ここで $\omega^2=\frac{k}{m}\frac{3-\sqrt{5}}{2}$の場合 $$ \left( K - \omega^2 M \right) X = \left( \begin{array}{cc} 2k-\omega^2 m & -k \\ -k & k-\omega^2m \\ \end{array} \right) = k \left( \begin{array}{cc} \frac{1+\sqrt{5}}{2} & -1 \\ -1 & \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ \end{array} \right) X = k \left( \begin{array}{cc} 1 & \frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right) X =0 $$ 従って$X=\left(\begin{array}{c}\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\1\\\end{array}\right)$またはその倍数 ## 減衰行列$C$がレイリー減衰により設定された場合,$\Phi^TC\Phi$が対角行列になることを証明せよ。ここに、$\Phi$はモード行列である。} ### 一般化固有値問題 $\bf A x=\lambda B x$ を満たすベクトル$x$とスカラー$\lambda$を見つける問題を一般固有値問題という。 $\bf \left(B^{-1} A\right) x = \lambda x$として普通の固有値問題に帰着させるのは問題があるらしい。 後で調べて加筆すること。 ### レイリー減衰 レイリー減衰行列は以下のように定義される。 $$\bf C=\alpha M + \beta K$$ 線形性から $$\bf \Phi^TC\Phi=\Phi^T\left(\alpha M + \beta K\right)\Phi=\alpha\Phi^TM\Phi+\beta\Phi^TK\Phi$$

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